ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Igualdad
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

Identidad
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.

Ecuación
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.

Resolución de ecuaciones de primer grado

En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.

Aplicaciones

Problemas sobre móviles

1er caso
Los móviles van en sentido contrario.

e AC + e BC = e AB

2o caso
Los móviles van en el mismo sentido.

e AC − e BC = e AB
3er caso
Los móviles parten del mismo punto y con el mismo sentido.
e 1 = e 2
Problemas sobre grifos
Problemas sobre mezclas
Problemas sobre relojes
El ángulo o arco descrito que recorre el minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja horaria.
Problemas geométricos

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
ax2 = 0
La solución es x = 0.
ax2 + bx = 0
Extraemos factor común x.
Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de 1er grado.
x = 0.

ax2 + c = 0
Despejamos:

ax2 +bx +c = 0

b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:
b2 − 4ac > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.
b2 − 4ac = 0
La ecuación tiene una solución doble.
b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:

Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2